Свойства функций

Четность и нечетность функции

Пусть есть функция %%f(x)%% с область определения %%D_f = X \subseteq \mathbb{R}%%, симметричной относительно начала координат, т.е. если %%x \in X%%, то и %%-x \in X%%.

Функцию %%f(x)%% называют на этом множестве четной, если %%f(-x) = f(x)~ \forall {x \in X}%%, и нечетной, если %%f(-x) = -f(x)~ \forall {x \in X}%%.

Функция, не являющаяся четной или нечетной, называется функцией общего вида.

Свойства:

• Сумма, разность четных (нечетных) функций есть четная (нечетная) функция.
• Произведение, частное четных (нечетных) функций есть четная функция
• Произведение, частное функций, одна из которых четная, а другая — нечетная, есть нечетная функция.
• График четной функции симметричен относительно оси %%Oy%%. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример

$$ \begin{array}{lll} y = x^2 - \text{четная функция}, \\ y = x^3 - \text{нечетная функция}, \\ y = \frac{x}{(x-1)(x+1)} + \ln x - \text{функция общего вида с } D_f = (0, 1) \cup (1, +\infty). \end{array} $$

Монотонность

Пусть есть функция %%f(x)%% с область определения %%D_f = X \subseteq \mathbb{R}%% и %%x_1%% и %%x_2%% — любые две точки этого множества, для которых выполнено неравенство %%x_1 < x_2%%. Функцию %%f(x)%% называют на этом множестве:

• возрастающей, если %%f(x_1) < f(x_2)%%;
• неубывающей, если %%f(x_1) \leq f(x_2)%%;
• убывающей, если %%f(x_1) > f(x_2)%%;
• невозрастающей, если %%f(x_1) \geq f(x_2)%%.

Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции на множестве %%X%% называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, на которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Пример

Функция %%y = x^5%% является возрастающей на всей числовой прямой %%\mathbb{R}%%, а функция %%y = x^4%% — убывающей на интервале %%(-\infty, 0)%% и возрастающей на интервале %%(0, +\infty)%%, но не является монотонной на любом интервале, содержащем точку %%x = 0%%. Функцию %%y = c = const%% можно считать одновременно неубывающей и невозрастающей по определению.

Периодичность

Периодом функции %%f(x)%%, определенной на множестве %%X \subseteq \mathbb{R}%%, называют действительное число %%T > 0%%, такое, что при любом %%x \in X%% числа %%x - T%% и %%x + T%% также принадлежат множеству %%X%% и справедливо равенство

$$ f(x \pm T) = f(x). $$

Числа %%nT%%, где %%n \in \mathbb{N}%% — любое натуральное число, также будут периодом такой функции.

Покажем, например, что если %%T%% — период функции %%f(x)%%, то %%2T%% также ее период.

В самом деле, во-первых, %%x \pm 2T = \big((x \pm T) \pm T\big) \in X%%

и, во-вторых,

$$ f(x \pm 2T) = f(x \pm T \pm T) = f (x \pm T) = f(x). $$

В дальнейшем под периодом функции будем понимать наименьший из ее периодов.

Если функция %%f(x)%% имеет период %%T%%, то функция %%\varphi(x) = f(a x + b)%%, где %%a%% и %%b%% — постоянные и %%a > 0%%, имеет период %%\frac{T}{a}%%.

$$ \varphi\left(x + \frac{T}{a}\right) = f\left(a\left(x + \frac{T}{a}\right) + b \right) = f(a x + b + T) = f(a x + b) = \varphi(x). $$

Ограниченность

Функцию %%f: X \to Y \subseteq \mathbb{R}%% называют на множестве %%D \subseteq X%%:

• ограниченной сверху, если множество

  $$ f(D) = \{ f(x): x \in D \} \subseteq \mathbb{R} $$ значений функции как подмножество в %%\mathbb{R}%% ограничено сверху, т.е. существует константа %%M \in \mathbb{R}%%, такая, что %%f(x) \leq M~~~ \forall {x \in D}%%;

• ограниченной снизу, если множество %%f(D)%% ограничено снизу, т.е. существует константа %%M \in \mathbb{R}%%, такая, что %%f(x) \geq M~~~ \forall {x \in D}%%;
• ограниченной, если множество %%f(D)%% ограничено, т.е. существует константа %%C > 0%%, такая, что %%|f(x)| \leq C~ \forall {x \in D}%%.

Пример

Функция %%f(x) = \frac{1}{1 + x^2}%% ограничена на множестве %%D = \mathbb{R}%%, т.к. %%0 < f(x) \leq 1~\forall x \in D%%. Графиком этой функции является кривая, называемая локоном Аньези по имени итальянского математика, профессора Болонского университета Марии Аньези (1718 — 1799).