Свойства функций

Четность и нечетность функции

Пусть есть функция $f(x)$ с область определения $D_f = X \subseteq \mathbb{R}$, симметричной относительно начала координат, т.е. если $x \in X$, то и $-x \in X$.

Функцию $f(x)$ называют на этом множестве четной, если $f(-x) = f(x)~ \forall {x \in X}$, и нечетной, если $f(-x) = -f(x)~ \forall {x \in X}$.

Функция, не являющаяся четной или нечетной, называется функцией общего вида.

Свойства:

• Сумма, разность четных (нечетных) функций есть четная (нечетная) функция.
• Произведение, частное четных (нечетных) функций есть четная функция
• Произведение, частное функций, одна из которых четная, а другая — нечетная, есть нечетная функция.
• График четной функции симметричен относительно оси $Oy$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример

$$\begin{array}{lll} y = x^2 - \text{четная функция}, \\ y = x^3 - \text{нечетная функция}, \\ y = \frac{x}{(x-1)(x+1)} + \ln x - \text{функция общего вида с } D_f = (0, 1) \cup (1, +\infty). \end{array}$$

Монотонность

Пусть есть функция $f(x)$ с область определения $D_f = X \subseteq \mathbb{R}$ и $x_1$ и $x_2$ — любые две точки этого множества, для которых выполнено неравенство $x_1 < x_2$. Функцию $f(x)$ называют на этом множестве:

• возрастающей, если $f(x_1) < f(x_2)$;
• неубывающей, если $f(x_1) \leq f(x_2)$;
• убывающей, если $f(x_1) > f(x_2)$;
• невозрастающей, если $f(x_1) \geq f(x_2)$.

Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции на множестве $X$ называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, на которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Пример

Функция $y = x^5$ является возрастающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, а функция $y = x^4$ — убывающей на интервале $(-\infty, 0)$ и возрастающей на интервале $(0, +\infty)$, но не является монотонной на любом интервале, содержащем точку $x = 0$. Функцию $y = c = const$ можно считать одновременно неубывающей и невозрастающей по определению.

Периодичность

Периодом функции $f(x)$, определенной на множестве $X \subseteq \mathbb{R}$, называют действительное число $T > 0$, такое, что при любом $x \in X$ числа $x - T$ и $x + T$ также принадлежат множеству $X$ и справедливо равенство

$$f(x \pm T) = f(x).$$

Числа $nT$, где $n \in \mathbb{N}$ — любое натуральное число, также будут периодом такой функции.

Покажем, например, что если $T$ — период функции $f(x)$, то $2T$ также ее период.

В самом деле, во-первых, $x \pm 2T = \big((x \pm T) \pm T\big) \in X$

и, во-вторых,

$$f(x \pm 2T) = f(x \pm T \pm T) = f (x \pm T) = f(x).$$

В дальнейшем под периодом функции будем понимать наименьший из ее периодов.

Если функция $f(x)$ имеет период $T$, то функция $\varphi(x) = f(a x + b)$, где $a$ и $b$ — постоянные и $a > 0$, имеет период $\frac{T}{a}$.

$$\varphi\left(x + \frac{T}{a}\right) = f\left(a\left(x + \frac{T}{a}\right) + b \right) = f(a x + b + T) = f(a x + b) = \varphi(x).$$

Ограниченность

Функцию $f: X \to Y \subseteq \mathbb{R}$ называют на множестве $D \subseteq X$:

• ограниченной сверху, если множество

  $$f(D) = \{ f(x): x \in D \} \subseteq \mathbb{R}$$ значений функции как подмножество в $\mathbb{R}$ ограничено сверху, т.е. существует константа $M \in \mathbb{R}$, такая, что $f(x) \leq M~~~ \forall {x \in D}$;

• ограниченной снизу, если множество $f(D)$ ограничено снизу, т.е. существует константа $M \in \mathbb{R}$, такая, что $f(x) \geq M~~~ \forall {x \in D}$;
• ограниченной, если множество $f(D)$ ограничено, т.е. существует константа $C > 0$, такая, что $|f(x)| \leq C~ \forall {x \in D}$.

Пример

Функция $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ ограничена на множестве $D = \mathbb{R}$, т.к. $0 < f(x) \leq 1~\forall x \in D$. Графиком этой функции является кривая, называемая локоном Аньези по имени итальянского математика, профессора Болонского университета Марии Аньези (1718 — 1799).