Понятие отображения

Пусть $X,Y$ — произвольные множества.

Основные определения

Отображением (оператором) $f$ множества $X$ в множество $Y$, или функцией, определенной на множестве $X$ со значениями в множестве $Y$, называют соответствие, которое каждому элементу $x \in X$ соотносит некоторый однозначно определенный элемент $y \in Y$.

Множество $X$ называют областью определения и обозначают $D_f$, элемент $x \in X$ — аргументом функции, а элемент $y \in Y$ — зависимым переменным. При этом элемент $y \in Y$, соответствующий элементу $x \in X$, называют образом элемента $x$ при отображении $f$ или значением функции $f$ в точке $x$ и обозначают $f(x)$. Областью значений функции $f$ (образом множества $X$ при отображении $f$) называют множество $$f(X) = \big\{y \in Y: y = f(x)~\forall x\in X\big\},$$ обозначаемое $R_f$. Множество $X = D_f$ является прообразом множества $f(X) = R_f$ при отображнеии $f$. При заданном $y \in Y$ совокупность всех таких элементов $x \in X$, что $f(x) = y$, называют прообразом элемента $y$ и обозначают $f^{-1}(y)$, то есть $$f^{-1}(y) = \big\{x \in X: f(x) = y\big\}.$$

Задание функции

Факту задания отображения (или функции) соответствует записть $f: X \to Y$, или $f: x \to y$, или $X \stackrel{f}{\to} Y$, или просто $y = f(x)$. Таким образом, $$f: X \to Y \Leftrightarrow \forall x \in X~~\exists! y \in Y : y = f(x).$$

Часто функцию $f$ обозначают $f(x)$. Обозначение функции и ее значения в точке $x \in X$ одним и тем же символом $f(x)$ обычно не вызывает недоразумений, посколько в каждом конкретном случае, как правило, ясно, что имеют в виду. Обозначение $f(x)$ часто удобнее, чем $f: x \to y$. Например, при аналитических преобразованиях запись $f(x) = x^2$ удобнее по сравнению с $f: x \to x^2$.

Тождественное отображение

На любом множестве $X$ определено отображение $I_X: X \to X$, называемое тождественным и задаваемое формулой $I_X (x) = x~\forall x \in X$. Его действие состоит в том, что оно оставляет все на своих местах.

Итак, понятие отображения состоит из трех неотемлимых частей: области определения $D_f$, множества $Y$, включающего область значений $R_f$, и правила $f$, которое для каждого элемента $x \in X$ задает единственный $y = f(x) \in Y$.

Примеры

Даны следующие множества $X, Y$ и правило $f$. Верно ли, что $f$ является отображением множества $X$ в множество $Y$?

1. $X = \mathbb N, Y = \mathbb N, f(x) = x - 1$.
2. $X$ и $Y$ — множество все точек некоторой плоскости, $f(x)$ — точка, удаленная от точки $x$ на данное расстояние $r > 0$.
3. $X = \mathbb{R}, Y$ — отрезок $[-1, 1]$, $f(x) = \sin(x)$.

В первом случае $f$ не является отображением, так как при $x = 1$ имеем $f(1) = 0 \notin Y = \mathbb{N}$. Во втором случае $f$ также не является отображением, так как элемент $f(x)$ определен неоднозначно, поскольку существуют такие элементы $x \in X$, для которых определены два элемента $y \in Y$. В третьем случае $f$ является отображением, так как множество $X = D_f$ определено, множество $Y$ определено и $f(x) = \sin(x)$ — задает единственный элемент, причем он принадлежит множеству $Y$.