Композиция

Определение

Если %%f: X \to Y%% и %%g: Y \to Z%%, то отображение %%\varphi: X \to Z%%, заданное для каждого %%x \in X%% формулой %%\varphi(x) = g\big(f(x)\big)%%, называется композицией (суперпозицией, %%\varphi%% читается как фи греч.) отображений %%f%% и %%g%%, или сложной функцией, и обозначают %%g \circ f%%.

$$ (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) $$

Таким образом, сложная функция %%g \circ f%% реализует правило: «Применяй сначала %%f%%, затем %%g%%», то есть в композиции %%g \circ f%% надо начинать с операции %%f%%, расположенной справа.

Пример

Пусть %%X = Y = Z = \mathbb R%%. Отображения %%f : X \to Y%% и %%g: Y \to Z%% заданы формулами %%f(x) = x + 1%% и %%g(x) = x^2%%. Указать формулу для отображения %%g \circ f%%

По правилу получаем

$$ (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) = g(x + 1) = (x + 1)^2. $$

Пример

Пусть даны функции %%f(x), g(x)%% и %%h(x)%%, тогда значение композиции %%h \circ g \circ f%% в точке %%x = x_0%% будет вычисляться следующим образом:

1. Вычисляется значение %%f_0%% равное значению функции %%f%% в точке %%x_0%%. Вычислено %%f(x_0)%%
2. Вычисляется значение %%g_0%% равное значению функции %%g%% в точке %%f_0%%. Вычислено %%(g \circ f)(x_0)%%.
3. Вычисляется значение %%h_0%% равное значению функции %%h%% в точке %%g_0%%. Вычислено %%(h \circ g \circ f)(x_0)%%.

Или же $$ \begin{array}{rl} (h \circ g \circ f)(x_0) =& h\Big(g\big(f(x_0)\big)\Big)\\ =& h\big(g(f_0)\big) \\ =& h(g_0)\\ =& h_0 \end{array} $$

Свойства произведения отображнений

1. Произведение отображения ассоциативно, то есть для всех отображений %%f: X \to Y, g: Y \to Z, h: Z \to H%% справедливо равенство %%(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)%%.

   Проверим это следующим образом:

   $$ \begin{array}{c} \big((h \circ g) \circ f\big) (x) = (h \circ g)\big(f(x)\big) = h \Big(g\big(f(x)\big)\Big),\\ \big(h \circ (g \circ f)\big) (x) = \Big(h \circ g\big(f(x)\big)\Big) = h \Big(g\big(f(x)\big)\Big). \end{array} $$

2. Пусть %%f%% — отображение множества %%X%% в %%X%%, %%I_X%% — тождественнное отображение множества %%X%%. Тогда $$ I_X \circ f = f \circ I_X = f. $$