Композиция

Определение

Если $f: X \to Y$ и $g: Y \to Z$, то отображение $\varphi: X \to Z$, заданное для каждого $x \in X$ формулой $\varphi(x) = g\big(f(x)\big)$, называется композицией (суперпозицией, $\varphi$ читается как фи греч.) отображений $f$ и $g$, или сложной функцией, и обозначают $g \circ f$.

$$(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)$$

Таким образом, сложная функция $g \circ f$ реализует правило: «Применяй сначала $f$, затем $g$», то есть в композиции $g \circ f$ надо начинать с операции $f$, расположенной справа.

Пример

Пусть $X = Y = Z = \mathbb R$. Отображения $f : X \to Y$ и $g: Y \to Z$ заданы формулами $f(x) = x + 1$ и $g(x) = x^2$. Указать формулу для отображения $g \circ f$

По правилу получаем

$$(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) = g(x + 1) = (x + 1)^2.$$

Пример

Пусть даны функции $f(x), g(x)$ и $h(x)$, тогда значение композиции $h \circ g \circ f$ в точке $x = x_0$ будет вычисляться следующим образом:

1. Вычисляется значение $f_0$ равное значению функции $f$ в точке $x_0$. Вычислено $f(x_0)$
2. Вычисляется значение $g_0$ равное значению функции $g$ в точке $f_0$. Вычислено $(g \circ f)(x_0)$.
3. Вычисляется значение $h_0$ равное значению функции $h$ в точке $g_0$. Вычислено $(h \circ g \circ f)(x_0)$.

Или же $$\begin{array}{rl} (h \circ g \circ f)(x_0) =& h\Big(g\big(f(x_0)\big)\Big)\\ =& h\big(g(f_0)\big) \\ =& h(g_0)\\ =& h_0 \end{array}$$

Свойства произведения отображнений

1. Произведение отображения ассоциативно, то есть для всех отображений $f: X \to Y, g: Y \to Z, h: Z \to H$ справедливо равенство $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$.

   Проверим это следующим образом:

   $$\begin{array}{c} \big((h \circ g) \circ f\big) (x) = (h \circ g)\big(f(x)\big) = h \Big(g\big(f(x)\big)\Big),\\ \big(h \circ (g \circ f)\big) (x) = \Big(h \circ g\big(f(x)\big)\Big) = h \Big(g\big(f(x)\big)\Big). \end{array}$$

2. Пусть $f$ — отображение множества $X$ в $X$, $I_X$ — тождественнное отображение множества $X$. Тогда $$I_X \circ f = f \circ I_X = f.$$