Основные определения

Рассмотрим отношение «уважать», определенное на множестве всех людей $M$. Для полной информации о том, кто кого уважает, составим следующее множество $R$. Переберем все пары $(a, b)$, где $a, b$ пробегают множество всех людей. Если $a$ уважает $b$, то пару $(a,b)$ отнесем к множеству $R$, иначе — нет.

Этот список полностью отражает отношение «уважать». Если нужно узнать, уважает ли человек $a$ человека $b$, то просмотрим множество $R$. Если пара $(a, b) \in R$, то заключаем, что $a$ уважает $b$. В случае $(a,b) \notin R$ — $a$ не уважает $b$.

Определение

Бинарным отношением, определенным на множестве $M$, называется произвольное подмножество $R$ из декартового произведения $M^2$.

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве $M = \{1, 2\}$. Тогда

$$M^2 = \big\{(1, 1), (1,2), (2,1), (2,2)\big\}$$ Из него выбирем все пары $(a,b)$, где $a > b$. Получим $$R = \big\{(2,1)\big\}$$

Виды бинарных отношений

Рефлексивное бинарное отношение

Бинарное отношение $R$ на множестве $M$ называется рефлексивным, если для любого элемента $a$ из $M$, выполняется условие $a~R~a$. $$\begin{array}{l} \forall a\in M~~a~R~a \text{ или}\\ \forall a\in M~~(a,a) \in R. \end{array}$$

Примеры

1. Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше рефлексивным? Если да, то каждое число является больше самого себя, что неверно. Поэтому отношение больше не рефлексивно.
2. Рассмотрим отношение равно на множестве действительных чисел. Оно является рефлексивным, так как каждое действительное число равно самому себе.

Симметричное бинарное отношение

Бинарное отношение $R$ на множестве $M$ называется симметричным, если для любых двух элементов $a, b$ из $M$, из условия $a~R~b$ следует условие $b~R~a$.

$$\begin{array}{l} \forall a,b\in M~~a~R~b \rightarrow b~R~a \text{ или}\\ \forall a,b\in M~~(a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R. \end{array}$$

Примеры

1. Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше симметричным? Оно не является симметричным, так как если $a > b$, то условие $b > a$ не выполняется. Поэтому отношение больше не симметрично.
2. Пусть $R$ — отношение, определенное на множестве $M = \{a,b,c\}$. При этом $R = \big\{ (a,b), (b,c), (a,a), (b,a), (c,b)\big\}$. Для этого отношения имеем $\forall x,y \in M ~~ (x,y) \in R \rightarrow (y,x) \in R$. По определению $R$ симметрично.

Транзитивное бинарное отношение

Бинарное отношение $R$ на множестве $M$ называется транзитивным, если для любых элементов $a, b, c$ из $M$, из условий $a~R~b$ и $b~R~c$ следует условие $a~R~c$.

$$\begin{array}{l} \forall a,b,c\in M~~a~R~b \land b~R~c \rightarrow a~R~c \text{ или}\\ \forall a,b,c\in M~~(a,b) \in R \land (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R. \end{array}$$

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве дейтсвительных чисел. Оно является транзитивным, так как для любых элементов выполняется условние $\forall a,b,c\in M~~a > b \land b > c \rightarrow a > c$. Так, например, подставив вместо $a, b$ и $c$ числа $2, 1$ и $0$ соответственно, получим: если $2 > 1$ и $1 > 0$, то $2 > 0$ — верное утверждение (вспомните импликацию, из истины следует истина).

Антисимметричное бинарное отношение

Бинарное отношение $R$ на множестве $M$ называется антисимметричным, если для любых элементов $a, b$ из $M$, из условий $a~R~b$ и $b~R~a$ следует условие $a = b$.

$$\begin{array}{l} \forall a,b,c\in M~~a~R~b \land b~R~a \rightarrow a = b \text{ или}\\ \forall a,b\in M~~(a,b) \in R \land (b,a) \in R \rightarrow a = b. \end{array}$$

Пример

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел антисимметрично. Действительно, если $a \geq b$ и $b \geq a$, $a = b$.

Эквивалентное бинарное отношение

Бинарное отношение $R$ на множестве $M$ называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Нетрудно проверить, что отношение параллельности на множестве прямых плоскости является отношением эквивалентности.

Отношение частичного порядка

Бинарное отношение $R$ на множестве $M$ называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел является отношением частичного порядка.

Построение отрицаний

Пусть $R$ — бинарное отношение на множестве $M$, и $P$ — одно из следующих условий:

• отношение $R$ рефлексивно,
• отношение $R$ симметрично,
• отношение $R$ транзитивно,
• отношение $R$ антисимметрично.

Построим для каждого из них отрицание выполнения условия $P$.

Отрицание рефлексивности

По определению $R$ рефлексивно, если каждый элемент множества $M$ находится в отношении $R$ к самому себе, то есть $\forall a \in M~~a~R~a$. Тогда рассмотрим отрицание рефлексивности как истинное высказывание $\overline{\forall a \in M~~a~R~a}$. Используем равносильность $\overline{\forall x P(x)} \equiv \exists x \overline {P(x)}$. В нашем случае получаем $\forall a \in M~~a~R~a \equiv \exists a\in M~~a~\not\text{R }~a$, что и нужно.

Аналогично получаем и остальные отрицания. В итоге получаем следующие утверждения:

• $R$ не рефлексивно тогда и только тогда, когда

  $$\exists a \in M~~a~\not R~a$$

• $R$ не симметрично тогда и только тогда, когда

  $$\exists a, b \in M~~ a~R~b \land b~\not R~a$$

• $R$ не транзитивно тогда и только тогда, когда

  $$\exists a, b, c \in M a~R~b \land b~R~c \land a~\not R~c$$

• $R$ не антисимметрично тогда и только тогда, когда

  $$\exists a, b \in M~~ a~R~b \land b~R~a \land a \neq b.$$