Высказывания. Операции над высказываниями

Определение высказываний

Высказывание — утверждение, относительно которого можно сказать истинно (1, истина, true) оно или ложно (0, ложь, false).

Высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами $A, B, C, ...$ или буквами с индексами $A_1, B^2, C', ...$.

Примеры

Следующие предложения являются высказываниями:

$A_1$: «Лондон — столица Австрии».
$A_2$: «Число 8 больше числа 3».
$A_3$: «Число 8 больше числа 13».
$A_4$: «Луна — спутник планеты Земля».

Причем высказывания $A_1, A_3$ — ложные, а $A_2, A_4$ — истинные.

Следующие предложения не являются высказываниями:

$B_1$: «Какой сегодня день недели?».
$B_2$: «$2 + 3$».
$B_3$: «Число $x$ больше 3».

Мы не можем сказать о любом из высказываний $B_1, B_2, B_3$ истинно оно или ложно. Например, в предложении $B_3$ буква $x$ — переменная. Если поставить какое либо значение вместо нее, например 8, то получим истинное высказывание.

Операции над высказываниями

Сложные высказывания построены из более простых, используя следующие логические знаки $$\land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \overline{},$$ которые имеют соответствующие названия: конъюнкция (логическое И), дизъюнкция (логическое ИЛИ), импликация (логические следование), эквиваленция (логическое равенство) и отрицание (логическое НЕ).

Пусть $A$ и $B$ — некоторые высказывания.

Конъюнкция

Конъюнкцией высказываний $A$ и $B$

называется новое высказывание, обозначаемое $A \land B$, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывания $A$ и $B$ истины. Читается как $A$ и $B$.

Рассмотрим конъюнкцию высказывний $A_1$ и $A_2$, которая записывается как $A_1 \land A_2$ и читается как «Генуя — столица Австрии и число 8 больше числа 3». Это высказывание ложно, так как высказывание $A_1$ ложно. Другими словами, конъюнкция является ложной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний ложно.

Рассмотрим произвольные высказывания $A$ и $B$ и полученное из них высказывание $A \land B$. Высказывания $A, B$ могут быть как ложными, так и истинными. Возможны следующие варианты:

1. $A$ ложно, $B$ ложно;
2. $A$ ложно, $B$ истинно;
3. $A$ истинно, $B$ ложно;
4. $A$ истинно, $B$ истинно;

В каждом их этих случаев, вычислив значение конъюнкции высказываний $A \land B$, получим следующую таблицу, которая называется таблицей истинности.

Где $1$ обозначает истинное высказывание, $0$ — ложное высказывание.

Операцию конъюникции можно распространить и на несколько высказываний. Пусть $A_1, A_2, ..., A_n$ — высказывания. Тогда высказывание $A_1 \land A_2 \land ... \land A_n$, являющееся конъюнкцией высказываний $A_1, A_2, ..., A_n$, будет истинным тогда и только тогда, когда все высказывания будут истинными.

Дизъюнкция

Дизъюнкцией высказываний $A$ и $B$

называется новое высказывание, обозначаемое $A \lor B$, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывания $A$ и $B$ ложны. Читается как $A$ или $B$.

Рассмотрим дизъюнкцию высказывний $A_1$ и $A_2$, которая записывается как $A_1 \lor A_2$ и читается как «Москва — столица Австрии или число 8 больше числа 3». Это высказывание истинно, так как высказывание $A_2$ истинно. Другими словами, дизъюнкция является истинной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истино.

Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом.

Аналогично конъюнкции, операцию дизъюнкции можно распространить и на несколько высказываний. Пусть $A_1, A_2, ..., A_n$ — высказывания. Тогда высказывание $A_1 \lor A_2 \lor ... \lor A_n$, являющееся дизъюнкцией высказываний $A_1, A_2, ..., A_n$, будет ложным тогда и только тогда, когда все высказывания будут ложными.

Импликация

Импликацией высказываний $A$ и $B$ называется

новое высказывание, обозначаемое $A \rightarrow B$, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывание $A$ истинно, $B$ ложно. Читается как: «Если $A$, то $B$»; «$A$ влечет $B$»; «из $A$ следует $B$»; «$A$ достаточно для $B$»; $B$ необходимо для $A$».

Рассмотрим импликацию высказывний $A_2$ и $A_1$, которая записывается как $A_2 \rightarrow A_1$ и читается как «Если число $8$ больше числа $3$, то Москва — столица Австрии». Это высказывание ложно, так как высказывание $A_2$ истинно, а $A_1$ ложно.

Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом.

Эквиваленция

Эквиваленцией высказываний $A$ и $B$

называется новое высказывание, обозначаемое $A \leftrightarrow B$, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывание $A$ и $B$ одновременно истинны или ложны. Читается как: «$A$ равносильно $B$»; «$A$ необходимо и достаточно для $B$»; «$A$ тогда и только тогда, когда $B$».

Рассмотрим импликацию высказывний $A_1$ и $A_2$, которая записывается как $A_1 \leftrightarrow A_2$ и читается как «Москва — столица Австрии тогда и только тогда, когда число $8$ больше числа $3$». Это высказывание ложно, так как высказывание $A_2$ истинно, а $A_1$ ложно.

Таблица истинности для эквиваленции выглядит следующим образом.

Также эквиваленцию можно выразить через импликацию и конъюнкцию, тогда

$$A \leftrightarrow B = (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)$$

Покажем это, используя таблицы истинности.

Как видно из таблицы истинности столбцы $A \leftrightarrow B$ и $(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)$ имеют одни и те же значения при одинаковых наборах значений $A$ и $B$, что говорит о равенстве этих двух формул.

Отрицание

Отрицанием высказывания $A$

называется новое высказывание, обозначаемое $\overline{A}$, которое является истинным, когда высказывание $A$ ложно, и ложным, когда высказываине $A$ истинно. Читается как: «не $A$»; «неверно, что $A$».

Рассмотрим отрицание высказывния $A_1$, которое записывается как $\overline{A_1}$ и читается как «неверно, что Москва — столица Австрии». Это высказывание истинно, так как высказывание $A_1$ ложно.

Таблица истинности для отрицания выглядит следующим образом.