Здравсвуйте, Владимир Юрьевич.

В курсе были даны следующие данные:

1. Определение композиции.
2. Правило в какой последовательности что вычислять.
3. Пример применения правила.

В кратце могу лишь Вам сказать следующее. Пусть есть функции %%f(x), g(x)%% и %%h(x)%%, тогда значение композиции %%h \circ g \circ f%% в точке %%x = x_0%% будет вычисляться следующим образом:

1. Вычисляется значение %%f_0%% равное значению функции %%f%% в точке %%x_0%%. Вычислили %%f(x_0)%%
2. Вычисляется значение %%g_0%% равное значению функции %%g%% в точке %%f_0%%. Вычислили %%(g \circ f)(x_0)%%.
3. Вычисляется значение %%h_0%% равное значению функции %%h%% в точке %%g_0%%. Вычислили %%(h \circ g \circ f)(x_0)%%.

Или же $$ \begin{array}{rl} (h \circ g \circ f)(x_0) =& h(g(f(x_0)))\\ =& h(g(f_0)) \\ =& h(g_0)\\ =& h_0 \end{array} $$

Добавил это же общее описание процесса вычисления значения композици функций в курс.

С уважением, Валерий Алигорский.

Здравсвуйте, Владимир Юрьевич.

Вы говорите:

Например %%X=\mathbb{R},Y= \mathbb{R},f(x)=\ln x%%, если %%x=-1%% то %%\ln -1%% нет такого решения

Это и есть Ваш факт. Теперь Вам на основании этого факта необходимо сделать вывод, а именно, это не является отображением, т.к. существует %%x \in X%%, для которого не существует %%y \in Y%%, что противоречит определению.

По поводу второго примера, Вы говорите:

%%X=\mathbb{Z},Y= \mathbb{N}, f(x)=x^2%% если %%x=-1%% то %%f(-1)=1%% входит в множество %%Y%%.

Да это факт, но на основе этого факта нельзя сделать вывод, является ли это отображением, т.к. вы взяли лишь отдельный вариант, а Вам необходимо рассмотреть все варианты:

Так, например, Вы можете сказать, что %%x^2%% — неотрицательное целое число, т.к %%x%% — целое число. Но неотрицательные целые числа не являются множеством натуральных чисел %%\mathbb{N}%%, т.к. число %%0 = 0^2%% не является натуральным, именно поэтому данные множества и правило не являются отображением (т.к. существует %%x \in X%%, для которого не существует %%y \in Y%%, что противоречит определению).

По поводу третьего задания.

Мне не понятно зачем Вы ищете %%g(f(x))%%, а также как у Вас получилось %%h∘f%%, т.к. последовательность операция должна быть другой (см. ответ выше).

По поводу видов отображений, прочитайте лекции, т.к. пересказывать лекции не вижу смысла. Если же будет задан конкретный вопрос, то его можно будет обсудить.

С уважением, Валерий Алигорский.

Здравсвуйте, Владимир Юрьевич.

В первом примере дано %%f\circ g%%, а не %%g\circ f%%.

Если же рассматривать %%g\circ f%%, где %%g(x) = \sin x%%, %%f(x) = x^2 + 2x + 3%%, то, действительно, $$ g\circ f = g(f(x)) = \\ = g(x^2 + 2x + 3) = \\ = \sin(x^2 + 2x + 3) $$

С уважением, Валерий Алигорский.

Здравсвуйте, Владимир Юрьевич.

Именно так, начинать нужно с самой правой функции, если только скобками не изменен приоритет.

С уважением, Валерий Алигорский.

Здравствуйте, Владимир Юрьевич.

Да в некоторых вариантах не нужно выбирать ни одного варианта, потому что отображение может не обладать этими свойствами.

С уважением, Валерий Алигорский.

Добрый день, Владимир Юрьевич!

Просим Вас создать новое обращение по последнему Вашему вопросу, написав ход своего решения, чтобы преподаватель помог Вам разобраться.

С уважением, Нелли.

Здравсвуйте, Владимир Юрьевич.

У Вас есть ошибки в %%3%% и %%4%% заданиях, в третьем задании Вы не обратили внимание на область определения при вычислении сюръекции. Попробуйте построить график, чтобы увидеть более наглядно. В четвертом задании советую тоже Вам построить график, чтобы решение было более наглядным. И попробуйте решить уравнение %%\ln x = -1%%.

По определению, если отображение является сюръективным и инъективным, то оно является биективным, следовательно, нужно выделять всё, если оно является биекцией.

С уважением, Валерий Алигорский.

Добрый день!

Помогите с этой функцией, пожалуйста: X=N,Y=N,f(x)=x3+1 Не является отображением, так как для у=1, x должен быть равен 0, что не соответствует области определения.

X=Z,Y=N,f(x)=x3+1 Тоже не является отображением, так как для x = -5, например, у = -124, что не соотв. области значений.

Правильно или нет? Не могу найти ошибку в решении задания.

Здравствуйте. Помогите пожалуйста с решением задания. Даны функции f(x)=x^2+2x+3,g(x)=sin⁡x,h(x)=5^x.

1. Значение функции f∘g в точке x=0.
2. Значение функции f∘h∘g в точке x=0.
3. Значение функции h∘f в точке x=−1.

Найти значение первых двух функций у меня получилось, а вот значение функции h∘f в точке x=−1 не получается.

Мои решения:

h o f = h(f(x))
5^x(x^2+2x+3)
5^(-1)((-1)^2+2*(-1)+3)=0,4

Но этот ответ не верный. Что я делаю не так?

Здравствуйте, Евгений Валерьевич.

Хочу обратить Ваше внимание на следующее: %%h(x) = 5^x%%.

1. Обратите внимание на %%x%% в данном выражении как в левой, так и в правой части.
2. Теперь заменим %%x%% на %%f%%, тогда получится %%h(f) = 5^f%%.
3. Пусть %%f%% будет функцией, зависящей он %%x%%, а именно %%f(x) = x^2 + 2x + 3%%.
4. Тогда %%h\big(f(x)\big) = 5^{f(x)} = 5 ^ {x^2 + 2x + 3}%%. Но в Вашем случае у Вас есть дополнительное умножение в степени, которого не должно быть.

Далее простой подстановкой необходимого значения %%x%% можно получить ответ.

Это уже не так важно, но в Ваши расчетах допущена ошибка %%5^{-2} = 1/25 = 0.04%%.

С уважением,
Валерий Алигорский.

Спасибо Вам большое!