Здравствуйте, Андрей Александрович.

Основная Ваша ошибка состоит в том, что порядок разноименных кваторов является важным, и их перестановка влияет на истинность высказывания. Однако одноименные кванторы можно менять местами, и на истинность это никак не влияет.

Для более точного определения Вашей ошибки, необходимы Ваши рассуждения, почему Вы пришли именно к этим результатам.

С уважением, Валерий Алигорский.

Здравствуйте, Андрей Александрович.

Первые %%2%% записи Вы прочли верно, однако в %%3%% и %%4%% записях у Вас есть небольшие недочеты.

4 высказывание

Хоть у Вас и получился в результате правильный ответ в %%4%% записи, но как я говорил, в предыдущем моем ответе порядок разноименных кванторов имеет значение. Если записать Вашу высказывание, то получится следующая запись:

$$ \exists_{y=2 - x} \forall_x x + y = 2, $$ Это высказывание является верным, но оно не является тем высказыванием, которое было указано в задании:

Для любого %%x%% существует %%y%%, так что %%x + y = 2%%.

Последнее высказывание является истинным, т.к. для каждого %%x%% можно найти %%y = 2 - x%%, что и доказывает истинность высказывания.

3 высказывание

Третье высказывание вы тоже прочитали неверно, оригинальное высказывание:

Существует %%x%%, так что для любого %%y%%, выполняется %%x + y = 2%%.

Тогда в Ваших рассуждениях есть ошибка, т.к. выбрав %%x = y - 2%% Вы не можете сказать чему равен %%x%%, т.к. %%y%% еще не определен, следовательно %%x%% — функция зависящая от %%y%%, что является неверным, т.к. %%x \in \mathbb{R}%% по условию.

Или же, если Вы задаете %%x = y - 2%%, тогда подставив %%x = 3%%, получим, что %%y = 5%%, а это уже не является любым %%y%% (например, я бы хотел взять %%6%%, а не %%5%%, в этом случае, но не могу, т.к. вы определили %%x%% в первом условии). Что тоже противоречит условию, т.к. %%y%% может быть любым.

Таким образом, первый квантор имеет общую область определения, второй квантор ограничен уже областью определения первого квантора, третий квантор ограничен пересечением областей определения первого и второго кванторов и т.д.

Теперь на небольших примерах, которые были в задании.

Существует %%x%%, так что для любого %%y%%, выполняется %%x + y = 2%%.

В данном случае мы сначала выбираем один %%x%% (после этого он уже не может измениться), после этого проверям выполняется ли для любого %%y%% выражение %%x + y = 2%%. Тогда видно, что для %%x = 5%%, найдет %%y = 6%%, такой что %%x + y \neq 2%%, тогда данное выссказывание не является верным.

Для любого %%x%% существует %%y%%, так что %%x + y = 2%%.

В данном случае есть случайный (а не один) %%x%%. И для случайного %%x%% необходимо найти хотя бы один %%y%%, чтобы выполнялось условие %%x + y = 2%%. В данном случае мы можем взять %%y = 2 - x%%. Тогда данное высказвание можно считать верным, т.к. мы нашли %%y = 2 - x%%, который для любого %%x%% выполняется условие %%x + y = 2%%.

С уважением, Валерий Алигорский.