Здравствуйте, Андрей Александрович.

Основная Ваша ошибка состоит в том, что порядок разноименных кваторов является важным, и их перестановка влияет на истинность высказывания. Однако одноименные кванторы можно менять местами, и на истинность это никак не влияет.

Для более точного определения Вашей ошибки, необходимы Ваши рассуждения, почему Вы пришли именно к этим результатам.

С уважением, Валерий Алигорский.

Здравствуйте, Андрей Александрович.

Первые $2$ записи Вы прочли верно, однако в $3$ и $4$ записях у Вас есть небольшие недочеты.

4 высказывание

Хоть у Вас и получился в результате правильный ответ в $4$ записи, но как я говорил, в предыдущем моем ответе порядок разноименных кванторов имеет значение. Если записать Вашу высказывание, то получится следующая запись:

$$\exists_{y=2 - x} \forall_x x + y = 2,$$ Это высказывание является верным, но оно не является тем высказыванием, которое было указано в задании:

Для любого $x$ существует $y$, так что $x + y = 2$.

Последнее высказывание является истинным, т.к. для каждого $x$ можно найти $y = 2 - x$, что и доказывает истинность высказывания.

3 высказывание

Третье высказывание вы тоже прочитали неверно, оригинальное высказывание:

Существует $x$, так что для любого $y$, выполняется $x + y = 2$.

Тогда в Ваших рассуждениях есть ошибка, т.к. выбрав $x = y - 2$ Вы не можете сказать чему равен $x$, т.к. $y$ еще не определен, следовательно $x$ — функция зависящая от $y$, что является неверным, т.к. $x \in \mathbb{R}$ по условию.

Или же, если Вы задаете $x = y - 2$, тогда подставив $x = 3$, получим, что $y = 5$, а это уже не является любым $y$ (например, я бы хотел взять $6$, а не $5$, в этом случае, но не могу, т.к. вы определили $x$ в первом условии). Что тоже противоречит условию, т.к. $y$ может быть любым.

Таким образом, первый квантор имеет общую область определения, второй квантор ограничен уже областью определения первого квантора, третий квантор ограничен пересечением областей определения первого и второго кванторов и т.д.

Теперь на небольших примерах, которые были в задании.

Существует $x$, так что для любого $y$, выполняется $x + y = 2$.

В данном случае мы сначала выбираем один $x$ (после этого он уже не может измениться), после этого проверям выполняется ли для любого $y$ выражение $x + y = 2$. Тогда видно, что для $x = 5$, найдет $y = 6$, такой что $x + y \neq 2$, тогда данное выссказывание не является верным.

Для любого $x$ существует $y$, так что $x + y = 2$.

В данном случае есть случайный (а не один) $x$. И для случайного $x$ необходимо найти хотя бы один $y$, чтобы выполнялось условие $x + y = 2$. В данном случае мы можем взять $y = 2 - x$. Тогда данное высказвание можно считать верным, т.к. мы нашли $y = 2 - x$, который для любого $x$ выполняется условие $x + y = 2$.

С уважением, Валерий Алигорский.